【题目】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形,且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,,若
,当阳马
体积最大时,则堑堵
的外接球体积为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).
(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角的最大值是多少?
(2)现需要倒出不少于的溶液,当
时,能实现要求吗?请说明理由.
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【题目】如图甲,AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高,,点M是线段AE的中点,将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图乙所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合,记为点P).
甲 乙
(1)求证:;
(2)求点M到平面BDP距离h.
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【题目】已知函数.
(1)求函数的定义域
,并判断
的奇偶性;
(2)如果当时,
的值域是
,求
与
的值;
(3)对任意的,
,是否存在
,使得
,若存在,求出
;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的右顶点为
,过点
作直线
与圆
相切,与椭圆
交于另一点
,与右准线交于点
.设直线
的斜率为
.
(1)用表示椭圆
的离心率;
(2)若,求椭圆
的离心率.
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【题目】下列判断正确的是( )
A.若随机变量服从正态分布
,
,则
;
B.已知直线平面
,直线
平面
,则“
”是“
”的充分不必要条件;
C.若随机变量服从二项分布:
,则
;
D.是
的充分不必要条件.
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【题目】近年来,国资委.党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示:
土地使用面积 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
管理时间 | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理 | 不愿意参与管理 | |
男性村民 | 150 | 50 |
女性村民 | 50 |
(1)求出相关系数的大小,并判断管理时间
与土地使用面积
是否线性相关?
(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性?
(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求
的分布列及数学期望。
参考公式:
其中。临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参考数据:
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【题目】松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利. 已知某条线路通车后,电车的发车时间间隔(单位:分钟)满足
. 经市场调研测算,电车载客量与发车时间间隔
相关,当
时电车为满载状态,载客量为
人,当
时,载客量会减少,减少的人数与
的平方成正比,且发车时间间隔为
分钟时的载客量为
人.记电车载客量为
.
(1)求的表达式,并求当发车时间间隔为
分钟时,电车的载客量;
(2)若该线路每分钟的净收益为(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?
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【题目】定义:直线关于圆的圆心距单位圆心到直线的距离与圆的半径之比.
(1)设圆,求过点
的直线关于圆
的圆心距单位
的直线方程.
(2)若圆与
轴相切于点
,且直线
关于圆
的圆心距单位
,求此圆
的方程.
(3)是否存在点,使过点
的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆
与
的圆心距单位始终相等?若存在,求出相应的
点坐标;若不存在,请说明理由.
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