【题目】定义:直线关于圆的圆心距单位圆心到直线的距离与圆的半径之比.
(1)设圆,求过点
的直线关于圆
的圆心距单位
的直线方程.
(2)若圆与
轴相切于点
,且直线
关于圆
的圆心距单位
,求此圆
的方程.
(3)是否存在点,使过点
的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆
与
的圆心距单位始终相等?若存在,求出相应的
点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
或
;(3)存在,
.
【解析】
(1)设过的直线方程为
,求得已知圆的圆心和半径,由新定义,可得方程,求得
,即可得到所求直线方程;
(2)设圆的方程为
,由题意可得
,①
②,
③,解方程可得
,
,
,进而得到所求圆的方程;
(3)假设存在点,设过
的两直线为
和
,求得两圆的圆心和半径,由新定义可得方程,化简整理可得
,或
,再由恒成立思想可得
,
的方程,解方程可得
的坐标.
解:(1)设过的直线方程为
,
圆的圆心为
,半径为1,
由题意可得,
解得,
即有所求直线为;
(2)设圆的方程为
,
由题意可得,①
②,
③
解方程可得,
,
,或
,
,
.
则圆的方程为
或
;
(3)假设存在点,设过
的两直线为
和
,又
的圆心为
,半径为1,
的圆心为
,半径为2,
由题意可得,
化简可得,或
,
即有或
,
解得或
.
则存在这样的点和
,使得使过
的任意两条互相垂直的直线
分别关于相应两圆的距离比始终相等.
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【题目】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形,且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,,若
,当阳马
体积最大时,则堑堵
的外接球体积为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长,随机选取了80名学生,调查他们每周运动的总时长(单位:小时),按照共6组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长的统计如下(表1、2),规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”,其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”.
表1:男生
时长 | ||||||
人数 | 2 | 8 | 16 | 8 | 4 | 2 |
表2:女生
时长 | ||||||
人数 | 0 | 4 | 12 | 12 | 8 | 4 |
(1)从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人,求选到“运动达人”的概率;
(2)根据题目条件,完成下面列联表,并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.
每周运动的时长小于15小时 | 每周运动的时长不小于15小时 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
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【题目】已知曲线的参数方程为
(
为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
,以原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设
点的极坐标为
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若过点且倾斜角为
的直线
与曲线
交于
两点,求
的值.
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【题目】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成上面的2×2列联表,若按95%的可靠性要求,并据此资料,你是否认为“体育迷”与性别有关?
(2)现在从该地区非体育迷的电视观众中,采用分层抽样方法选取5名观众,求从这5名观众选取两人进行访谈,被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率.
附:
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线
上的点
对应的参数
,射线
与曲线
交于点
(1)求曲线、
的直角坐标方程;
(2)若点在曲线
上的两个点且
,求
的值.
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【题目】在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下:
甲地:总体平均数为3,中位数为4;
乙地:总体平均数为1,总体方差大于0;
丙地:总体平均数为2,总体方差为3;
丁地:中位数为2,众数为3;
则甲、乙、两、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是( )
A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地
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【题目】已知点在
上,以
为切点的
的切线的斜率为
,过
外一点
(不在
轴上)作
的切线
、
,点
、
为切点,作平行于
的切线
(切点为
),点
、
分别是与
、
的交点(如图):
(1)用、
的纵坐标
、
表示直线
的斜率;
(2)若直线与
的交点为
,证明
是
的中点;
(3)设三角形面积为
,若将由过
外一点的两条切线及第三条切线(平行于两切线切点的连线)围成的三角形叫做“切线三角形”,如
,再由
、
作“切线三角形”,并依这样的方法不断作切线三角形……,试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及
所围成的阴影部分的面积
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