Question

已知椭圆C的两个焦点是（0，-

3

）和（0，

3

），并且经过点(

3

2

 ，  1)，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．
（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，求

AG

•

HB

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）设l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-

1

k

(x-1)，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求

AG

•

HB

的最小值．

解答： 解：（I）设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2c，
则由题意得 c=

3

，2a=

3 4 +(1+ 3 )2

+

3 4 +(1- 3 )2

=4，
∴a=2，b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为

y2

4

+x2=1．   …（4分）
∴右顶点F的坐标为（1，0）．
设抛物线E的标准方程为y²=2px（p＞0），
∴

p

2

=1，  2p=4，
∴抛物线E的标准方程为y²=4x． …（6分）
（Ⅱ）设l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-

1

k

(x-1)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
由

y=- 1 k (x-1) y2=4x

消去y得：x²-（4k²+2）x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，…（9分）
∴

AG

•

HB

=(

AF

+

FG

)•(

HF

+

FB

)
=

AF

•

HF

+

AF

•

FB

+

FG

•

HF

+

FG

•

FB

=|

AF

|•|

FB

|+|

FG

|•|

HF

|
=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|
=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+（x₃x₄+x₃+x₄+1）
=8+

4

k2

+4k2≥8+2

4 k2 •4k2

=16．
当且仅当

4

k2

=4k2即k=±1时，

AG

•

HB

有最小值16．…（13分）

点评：本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．