Question

已知双曲线x²-y²=2；
（1）若直线n的斜率为2，直线n与双曲线相交于A、B两点，线段AB的中点为P，求点P的坐标（x，y）满足的方程（不要求写出变量的取值范围）；
（2）过双曲线的左焦点F₁，作倾斜角为α的直线m交双曲线于M、N两点，期中α∈（

π

4

，

3π

4

），F₂是双曲线的右焦点，求△F₂MN的面积S关于倾斜角α的表达式．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点差法，结合线段AB的中点为P（x，y），直线n的斜率为2，即可得出结论．
（2）分直线l和x轴垂直和不垂直求解，△F₂MN的面积，垂直时直接计算，不垂直时设出直线方程，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求三角形的边长，代入面积公式求面积．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2
两式相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵线段AB的中点为P（x，y），
∴2x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∵直线n的斜率为2，
∴x-2y=0；
（2）F₁（-2，0），|F₁F₂|=4，
直线l与x轴垂直时，|MN|=2

2

，此时，△F₂MN的面积S=

1

2

|MN||F₁F₂|=4

2

．
直线l与x轴不垂直时，直线l方程为y=tanα（x+2），
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
将y=tanα（x+2）代入双曲线方程，整理得：（1-tan²α）x²-4xtan²α-4tan²α-2=0
∴x₃+x₄=

4tan2α

1-tan2α

，x₃x₄=-

-4tan2α-2

1-tan2α

，
∴|MN|=

1+tan2α

•|x₃-x₄|=

1+tan2α

•

8(1+tan2α)

1-tan2α

，
∵点F₂到直线MN距离d=

|4tanα|

1+tan2α

，
∴△F₂MN的面积S=

1

2

|MN|d=

1

2

•

1+tan2α

•

8(1+tan2α)

1-tan2α

•

|4tanα|

1+tan2α

=|

4sinα

cos2α

|．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查直线与圆锥曲线的关系，考查分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题．