Question

表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：设圆柱的高为h、底面半径为r，根据圆柱的表面积S=12π，可得h=6-r²，构造V关于r的函数，利用导数求函数想最值，并求V取到最大值时rh的值，可得答案．

解答： 解：设圆柱的高为h、底面半径为r，
则圆柱的表面积S=2πr²+2πrh=12π，即r²+rh=6⇒rh=6-r²，
∴V=πr²h=πr（6-r²）=π（6r-r³），
V′=π（6-3r²）=0⇒r=

2

，
∴函数V=πr²h=πr（6-r²）=π（6r-r³），在区间（0，

2

]上单调递增，在区间[

2

，+∞）上单调递减，
∴r=

2

时，V最大，h=6-2=4，
∴

r

h

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了圆柱的表面积公式与体积公式，考查了导数的应用及利用函数思想求最值，构造函数利用导数求函数的最值是解答本题的关键，一元三次函数求最值常用导数法．