Question

已知函数f﹙x﹚=log_a（1+x），g﹙x﹚=log_a﹙x-1﹚﹙a＞0且a≠1﹚．
①求函数f﹙x﹚+g﹙x﹚的定义域；
②判断函数f﹙x﹚+g﹙x﹚的奇偶性并说明理由；
③求使f﹙x﹚-g（2x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：①要使函数f﹙x﹚+g﹙x﹚有意义，需

x+1＞0 x-1＞0

，由此求得函数f﹙x﹚+g﹙x﹚的定义域．
②根据函数F（x）的定义域不关于原点对称，可得函数F（x）是非奇非偶函数．
③要解的不等式即log_a（1+x）＞log_a（2x-1），分当a＞1时 和当 0＜a＜1时两种情况，分别利用对数函数的定义域及单调性求得不等式的解集．

解答： 解：①∵函数f﹙x﹚=log_a（1+x），g﹙x﹚=log_a﹙x-1﹚，
要使函数f﹙x﹚+g﹙x﹚有意义，需

x+1＞0 x-1＞0

，解得x＞1，
故函数f﹙x﹚+g﹙x﹚的定义域为（1，+∞）．
②令F（x）=f﹙x﹚+g﹙x﹚，则由①可得函数F（x）的定义域为（1，+∞），
不关于原点对称，故函数F（x）是非奇非偶函数．
③由f﹙x﹚-g（2x）＞0可得 log_a（1+x）＞log_a（2x-1），
当a＞1时，不等式化为1+x＞2x-1＞0，解得

1

2

＜x＜2，故不等式的解集为（

1

2

，2）；
当 0＜a＜1时，不等式化为2x-1＞x+1＞0，解得 x＞2，故不等式的解集为（2，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．