Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2，AB=1，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，设E为PC中点，点F在线段PD上且PF=2FD．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）设二面角A-CF-D的大小为θ，若|cosθ|=

42

14

，求PA的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件用余弦定理和勾股定理推导出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立坐标系．利用向量法能求出BE∥平面ACF．
（Ⅱ）分别求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由|cosθ|=

42

14

，利用向量法能求出PA的长．

解答： （Ⅰ）证明：∵由AD=2，AB=1，ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，
∴AC=

4+1-2×2×1×cos60°

=

3

，
∴AB⊥AC．
又∵PA⊥面ABCD，∴以AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立坐标系．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0），D（-1，

3

，0），
设P（0，0，c），则E(0，

3

2

，

c

2

)．
设F（x，y，z），∵PF=2FD，
∴

PF

=2

FD

，即：(x，y，z-c)=2(-1-x，

3

-y，-z)．
解得：x=-

2

3

，y=

2 3

3

，z=

c

3

，
∴F(-

2

3

，

2 3

3

，

c

3

)．…..（5分）
∴

AF

=(-

2

3

，

2 3

3

，

c

3

)，

AC

=(0，

3

，0)，

BE

=(-1，

3

2

，

c

2

)．
设面ACF的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

- 2 3 x+ 2 3 3 y+ c 3 z=0 y=0

，取

n

=(c， 0， 2)．
因为

n

•

BE

=-c+c=0，且BE?面ACF，
∴BE∥平面ACF．  …..（9分）
（Ⅱ）设面PCD法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

PC

=(0，

3

， -c)，

PD

=(-1，

3

， -c)，
∴

3 y-cz=0 -x+ 3 y-cz=0

，取

m

=(0， c，

3

)．  …..（11分）
由|cosθ|=|

n • m

| n || m |

|=

42

14

，得

2 3

c2+4 c2+3

=

42

14

．
整理，得c⁴+7c²-44=0，解得c=2，
∴PA=2． …..（15分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．