Question

过原点的直线交双曲线x²-y²=4

2

于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角，则折后线段PQ的长度的最小值等于

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间角

分析：将双曲线按逆时针方向旋转45°角，可得双曲线y=

2 2

x

的图象．问题转化为：过原点的直线交双曲线y=

2 2

x

于P、Q两点将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段PQ的长度的最小值．设P（t，

2 2

t

），其中t＞0，作PM⊥y轴于M，连结MQ．利用两点间的距离公式、面面垂直的性质和勾股定理，算出|PQ|²=2t²+

32

t2

，最后利用基本不等式加以计算，即可求出折后线段PQ的长度的最小值．

解答： 解：∵双曲线x²-y²=4

2

是等轴双曲线，以直线y=±x为渐近线
∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角，可得双曲线y=

m

x

的图象
∵双曲线x²-y²=4

2

的顶点（

4	32

，0），逆时针方向旋转45°
变为点（

4	8

，

4	8

）
∴点（

4	8

，

4	8

）在y=

m

x

的图象上，可得m=

4	8

•

4	8

=2

2

，
即双曲线按逆时针方向旋转45°角，得到双曲线y=

2 2

x

的图象
问题转化为：过原点的直线交双曲线y=

2 2

x

于P、Q两点
将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段PQ的长度的最小值
设P（t，

2 2

t

）（t＞0），过点P作PM⊥y轴于M，连结MQ，
可得M（0，

2 2

t

），Q（-t，-

2 2

t

），
|MQ|=

(0+t)2+( 2 2 t + 2 2 t )2

=

t2+ 32 t2

，
在折叠后的图形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，
得|PQ|²=|PM|²+|MQ|²=2t²+

32

t2

≥2

2t2• 32 t2

=16，
当且仅当t²=4，即t=2时等号成立，
∴当t=2时，即P坐标为（2，

2

）时，|PQ|的最小值为

16

=4．
综上所述，折后线段PQ的长度的最小值等于4．
故答案为：4．

点评：本题给出平面图形的折叠，求折后P、Q两点间的最短距离．着重考查了两点间的距离公式、面面垂直的性质、勾股定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．同时考查了逻辑推理能力和运算能力，考查了转化归和数形结合的数学思想的应用等知识，是一道好题．