Question

若f（x）是R上的偶函数，并且在区间（0，+∞）上是增函数，若f（1）=0，则满足xf（x）＞0的x的集合是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系得到当x＜0时的性质，然后利用分类讨论解不等式即可．

解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，并且在区间（0，+∞）上是增函数，
∴在区间（-∞，0）上是减函数，
若f（1）=0，则f（-1）=f（1）=0，
则不等式xf（x）＞0等价为

x＞0 f(x)＞0=f(1)

，即

x＞0 x＞1

，∴x＞1，
或者

x＜0 f(x)＜0=f(-1)

，即

x＜0 x＞-1

，即-1＜x＜0，
综上不等式的解为x＞1或-1＜x＜0，
故答案为：{x|x＞1或-1＜x＜0}

点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．