Question

定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，若f（1）=0，则不等式f[x（x-

1

2

）]＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性的性质结合函数的图象，解不等式即可得到结论．

解答： 解：∵y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，
∴在（-∞，0）上是增函数，
若f（1）=0，则f（-1）=-f（1）=0，
则函数f（x）的草图如图：（直线只代表单调性）
则不等式f[x（x-

1

2

）]＜0等价为0＜x（x-

1

2

）＜1   ①
或x（x-

1

2

）＜-1，②
由①得

x＞ 1 2 或x＜0 2x2-x-2＜0

即

x＞ 1 2 或x＜0 1- 7 2 ＜x＜ 1+ 7 2

，
即

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

，
由②得

x(x- 1 2 )＜0 x(x- 1 2 )＜-1

，即

0＜x＜ 1 2 2x2-x+2＜0

，此时不等式无解．
综上

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

，
即不等式的解集为{x|

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

}，
故答案为：{x|

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

}．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性的性质作出函数的简图是解决本题的关键．