Question

某高校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取．假设每项测试相互独立，学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等•且各项测试合格的概率分别为

1

2

，

1

2

，

1

3

．
（1）求学生甲和乙至少有一人被录取的概率；
（2）求学生甲测试合格的项数X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（1）记学生甲被录取的事件为A，学生甲通过这三个项目的事件分别为B，C，D，由题设知P（B）=

1

2

，P（C）=

1

2

，P（D）=

1

3

，由于事件B，C，D相互独立，由此能求出甲被录取的概率，由学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等，知乙被录取的概率和甲被录取的概率相等，由此能求出学生甲和乙到少有一人被录取的概率．
（2）由题设知，学生甲测试合格的项数X的取值为0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）记学生甲被录取的事件为A，学生甲通过这三个项目的事件分别为B，C，D，
由题设知P（B）=

1

2

，P（C）=

1

2

，P（D）=

1

3

，
由于事件B，C，D相互独立，
∴甲被录取的概率为：
P（A）=P（BCD）=P（B）P（C）P（D）=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，
∵学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等，
∴乙被录取的概率为P₁=

1

12

，
∴学生甲和乙到少有一人被录取的概率P=1-C

2 2

（

11

12

）²=

23

144

．
（2）由题设知，学生甲测试合格的项数X的取值为0，1，2，3，
则P（X=0）=P（

.

B

.

C

.

D

）=

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

6

，
P（X=1）=P（B

.

C

.

D

）+P（

.

B

C

.

D

）+P（

.

B

.

C

D）
=

1

2

×

1

2

×

2

3

+

1

2

×

1

2

×

2

3

+

1

2

×

1

2

×

1

3

=

5

12

，
P（X=2）=P（BC

.

D

）+P（B

.

C

D）+P（

.

B

CD）
=

1

2

×

1

2

×

2

3

+

1

2

×

1

2

×

1

3

+

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

3

，
P（X=3）=P（BCD）=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 6	5 12	1 3	1 12

EX=0×

1

6

+1×

5

12

+2×

1

3

+3×

1

12

=

4

3

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．