Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*都有2S_n=（kn+b）（a₁+a_n）+p成立，（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=-4时，求S_n；
（2）当k=1，b=0，p=0时，
①若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；
②设数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”．如果a₂-a₁=2，试问：是否存在数列{a_n}为“Ω数列”，使得对任意n∈N^*，都有S_n≠0，且

1

12

＜

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

11

18

．若存在，求数列{a_n}的首项a₁的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）当k=0，b=3，p=-4时，3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂…+a_n），再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求S_n；
（2）①当k=1，b=0，p=0时，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂…+a_n），再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
②确定数列{a_n}的通项，利用{a_n}是“Ω数列”，得a₁是偶数，从而可得

18

11

＜a1＜12，再利用条件，验证，可求数列{a_n}的首项a₁的所有取值．

解答： 解：（1）当k=0，b=3，p=-4时，3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂…+a_n），①
用n+1去代n得，3（a₁+a_n+1）-4=2（a₁+a₂…+a_n+a_n+1），②
②-①得，3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，
在①中令n=1得，a₁=1，则a_n≠0，
∴数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴S_n=

3n-1

2

．                           …．（5分）
（2）①当k=1，b=0，p=0时，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂…+a_n），
用n+1去代n得，（n+1）（a₁+a_n+1）=2（a₁+a₂…+a_n+a_n+1），
两式相减得，（n-1）a_n+1-na_n+a₁=0，（6分）
用n+1去代n得，na_n+2-（n+1）a_n+1+a₁=0，
两式相减得得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，（8分）
∴数列{a_n}是等差数列．
∵a₃=3，a₉=15，∴公差d=

15-3

9-3

=2，∴a_n=2n-3．                       …（10分）
②由①知数列{a_n}是等差数列，∵a₂-a₁=2，∴a_n=a₁+2（n-1）．
又{a_n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N^*，必存在p∈N^*使a₁+2（n-1）+a₁+2（m-1）=a₁+2（p-1），
得a₁=2（p-m-n+1），故a₁是偶数，（12分）
又由已知，

1

12

＜

1

S1

＜

11

18

，故

18

11

＜a1＜12．
一方面，当

18

11

＜a1＜12时，S_n=n（n+a₁-1）＞0，
对任意n∈N^*，都有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≥

1

S1

＞

1

12

．
另一方面，当a₁=2时，S_n=n（n+1），

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，则

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1-

1

n+1

，
取n=2，则

1

S1

+

1

S2

=1-

1

3

=

2

3

＞

11

18

，不合题意．（14分）
当a₁=4时，S_n=n（n+3），

1

Sn

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，则

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

11

18

-

1

3

(

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

)＜

11

18

，
当a₁≥6时，S_n=n（n+a₁-1）＞n（n+3），

1

Sn

＜

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

11

18

-

1

3

(

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

)＜

11

18

，
又

18

11

＜a1＜12，
∴a₁=4或a₁=6或a₁=8或a₁=10
∴首项a₁的所有取值构成的集合为{4，6，8，10}．                    …（18分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．