Question

设函数f（x）=ae^x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）若对?x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题

分析：（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）令F（x）=kf（x）-g（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，对?x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，可得当x≥-2，F（x）_min≥0，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ） f'（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+b----------------------（1分）
由题意，两函数在x=0处有相同的切线．
∴f'（0）=2a，g'（0）=b，
∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．----------------------（3分）
（Ⅱ） f'（x）=2e^x（x+2），由f'（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．----------------------（4分）
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①当-3＜t＜-2时，f（x）在[t，-2]单调递减，[-2，t+1]单调递增，
∴f(x)min=f(-2)=-2e-2．----------------------（5分）
②当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴f(x)min=f(t)=2et(t+1)；
∴f(x)=

-2e-2_

&2et(t+1)  (t≥-2)----------------------（6分）
（Ⅲ）令F（x）=kf（x）-g（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，
由题意当x≥-2，F（x）_min≥0----------------------（7分）
∵?x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k-2≥0，∴k≥1----------------------（8分）
F'（x）=2ke^x（x+1）+2ke^x-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），----------------------（9分）
∵x≥-2，由F'（x）＞0得ex＞

1

k

，∴x＞ln

1

k

；由F'（x）＜0得x＜ln

1

k

∴F（x）在(-∞，ln

1

k

]单调递减，在[ln

1

k

，+∞)单调递增----------------------（10分）
①当ln

1

k

＜-2，即k＞e²时，F（x）在[-2，+∞）单调递增，F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=

2

e2

(e2-k)＜0，不满足F（x）_min≥0．----------------（11分）
②当ln

1

k

=-2，即k=e²时，由①知，F(x)min=F(-2)=

2

e2

(e2-k)=0，满足F（x）_min≥0．-------（12分）
③当ln

1

k

＞-2，即1≤k＜e²时，F（x）在[-2，ln

1

k

]单调递减，在[ln

1

k

，+∞)单调递增F(x)min=F(ln

1

k

)=lnk(2-lnk)＞0，满足F（x）_min≥0．
综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e²]．----------------------（13分）

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．