Question

已知抛物线y²=4

2

x的焦点为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，M、N是椭圆上的动点
（1）求椭圆标准方程；
（2）设动点P满足：

OP

=

OM

+2

ON

，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，证明：存在定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值，并求出F₁，F₂的坐标；
（3）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，MA垂直于x轴于点A，连接NA 并延长交椭圆于点B，记直线MN，MB的斜率分别为k_MN，k_MB，证明：k_MN•k_MB+1=0．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据抛物线y²=4

2

x的焦点为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，求出a，b，即可求得椭圆标准方程；
（2）将

OP

=

OM

+2

ON

坐标化，利用直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，可计算x²+2y²=20，从而可知存在两个定点F1(-

10

，0)，F2(

10

，0)，使得|PF₁|+|PF₂|为定值．
（3）设M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A（x₁，0），N（-x₁，-y₁），由题设可知l_AB斜率存在且满足k_NA=k_NB，即可证明k_MN•k_MB+1=0．

解答： 解：（1）∵抛物线y²=4

2

x的焦点为（

2

，0），…（1分）
∴椭圆中的c=

2

，
又由椭圆的长轴为4得a=2，
∴b²=a²-c²=2          …（2分）
∴椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

2

=1…（3分）
（2）设P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ），
由

OP

=

OM

+2

ON

，可得：（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，…（4分）
∵M、N是椭圆上的点，∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）．
由直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，可得：

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
即∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，即

x2

20

+

y2

10

=1…（7分）
由椭圆定义可知存在两个定点F1(-

10

，0)，F2(

10

，0)，使得动点P到两定点距离和为定值4

5

；…（8分）
（3）设M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设可知x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0，A（x₁，0），N（-x₁，-y₁），…（9分）
由题设可知l_AB斜率存在且满足k_NA=k_NB，
∴

y1

2x1

=

y2+y1

x2+x1

．…（10分）
∴k_MN•k_MB+1=

y1

x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

2(y2+y1)

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

(x22+2y22)-(x12+2y12)

x22-x12

…（12分）
∵点M，B在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1，
∴k_MN•k_MB+1=0    …（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题的探求，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生运算、分析解决问题的能力，综合性强．