Question

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，

1

2

]．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，直接写出t的取值范围；（可以不要写演算写过程）
（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不超过2称为“环保达标”，试问a应控制在什么范围内才能“环保达标”？

Answer 1

分析：（1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；
（2）当a∈（0，

1

2

]时，记g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，确定函数的单调性，即可求得f（x）的最大值；
（3）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论．

解答：解：（1）当x=0时，t=0；当0＜x≤24时，

1

t

=x+

1

x

．
对于函数y=x+

1

x

，∵y′=1-

1

x2

，
∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+

1

x

单调递减，当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+

1

x

单调递增，
∴y∈[2，+∞）．
综上，t的取值范围是[0，

1

2

]；
（2）由（1）知t的取值范围是[0，

1

2

]；
当a∈（0，

1

2

]时，记g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，则g（t）=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，

1

2

]上单调递增，且g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，
∴g（0）-g（

1

2

）=2（a-

1

4

）．
故M（a）=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 ， 1 4 ＜a≤ 1 2

．
（3）当0≤a≤

1

4

时，M(a)=a+

7

6

＜2，
当

1

4

＜a≤

1

2

，令M(a)=3a+

2

3

≤2，得

1

4

＜a≤

4

9

综上知当a控制在[0，

4

9

]范围内，才能“环保达标”．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．