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某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时) 的关系为f(x)=|-a|+2a+,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈[0,].
(1)令t=,x∈[0,24],写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明;
(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a),求M(a);
(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数M(a)是否超标?
【答案】分析:(1)单调递增区间为[0,1];单调递减区间为[1,24],利用单调性的定义可以证明;
(2)先确定t的取值范围是[0,],再进行分类讨论,从而可得M(a)的解析式;
(3)利用分段函数,可得当时不超标,从而可得结论.
解答:解:(1)单调递增区间为[0,1];单调递减区间为[1,24].
证明:任取0≤x1<x2≤1,t(x1)-t(x2)=
∵0≤x1<x2≤1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0,∴<0,∴t(x1)-t(x2)<0.
所以函数t(x)在[0,1]上为增函数.(同理可证在区间[1,24]单调递减)
(2)由函数的单调性知tmax(x)=t(1)=1,tmin(x)=t(0)=0,
∴t==,∴t的取值范围是[0,].
当a∈[0,]时,由于f(x)=|-a|+2a+,则可记g(t)=|t-a|+2a+
则g(t)=
∵g(t)在[0,a]上单调递减,在(a,]上单调递增,
且g(0)=3a+.g()=a+
∴g(0)-g()=2(a-).
故M(a)=
(3)当时,,∴,不满足题意;
时,,∴a≤,∴时,满足题意
故当时不超标,当时超标.
点评:本题主要考查了函数模型的选择与应用、考查求函数解析式及分类讨论的思想,属于实际应用题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•崇明县二模)某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时) 的关系为f(x)=|
x
x2+1
-a|+2a+
2
3
,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈[0,
1
2
].
(1)令t=
x
x2+1
,x∈[0,24],写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明;
(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a),求M(a);
(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数M(a)是否超标?

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科目:高中数学 来源: 题型:

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=|
x
x2+1
-a|
+2a+
2
3
,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈[0,
1
2
].
(1)令t=
x
x2+1
,x∈[0,24],直接写出t的取值范围;(可以不要写演算写过程)
(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a),求M(a);
(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不超过2称为“环保达标”,试问a应控制在什么范围内才能“环保达标”?

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科目:高中数学 来源:2012年上海市崇明县高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时) 的关系为f(x)=|-a|+2a+,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈[0,].
(1)令t=,x∈[0,24],写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明;
(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a),求M(a);
(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数M(a)是否超标?

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科目:高中数学 来源:2012年上海市崇明县高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时) 的关系为f(x)=|-a|+2a+,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈[0,].
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(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a),求M(a);
(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数M(a)是否超标?

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