Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公比是正数的等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知a₁=1，b₁=3，a₂+b₂=8，T₃-S₃=15．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若数列{c_n}满足a₁c₁+a₂c₂+…+a_n-1c_n-1+a_nc_n=n（n+1）（n+2）+1（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和W_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，依题意，列出关于q、d的方程组，解之即可求得{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由a_n=n知，c₁+2c₂+3c₃+…+nc_n=n（n+1）（n+2）+1，n≥2时，c₁+2c₂+3c₃+…+（n-1）c_n-1=（n-1）n（n+1）+1，二式相减可求得c_n=3n+3（n≥2），再求得c₁，即可求得数列{c_n}的前n项和W_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=1，b₁=3，由a₂+b₂=8，得1+d+3q=8，①
由T₃-S₃=15得3（q²+q+1）-（3+3d）=15②
由①②得：

3q+d=7 q2+q-3d=5

消去d得q²+4q-12=0，
∴q=2或q=-6，又q＞0，
∴q=2，代入①得d=1．
∴a_n=n，b_n=3•2^n-1．
（2）∵a_n=n，
∴c₁+2c₂+3c₃+…+nc_n=n（n+1）（n+2）+1①
当n≥2时，c₁+2c₂+3c₃+…+（n-1）c_n-1=（n-1）n（n+1）+1②
由①-②得：
nc_n=3n（n+1），
∴c_n=3n+3（n≥2）．
又由（1）得c₁=7，
∴c_n=

3n+3(n≥2) 7(n=1)

．
∴数列{a_n}的前n项和W_n=7+9+12+…+3n+3=1+

6+3n+3

2

•n=

3n2+9n

2

+1．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式及等差数列的求和公式的综合应用，属于难题．