Question

【题目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={ }；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log2x}；
④M={（x，y）|y=ex﹣2}．
其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：对于①y= 是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1 ， y1）∈M，不存在（x2 ， y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1 ， y1）∈M，不存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．
对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．
对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．
对于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．

所以②④正确．
故选D．
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．