【题目】已知函数f(x)=ax2﹣ x+c(a,c∈R)满足条件:①f(1)=0;②对一切x∈R,都有f(x)≥0
(1)求a、c的值;
(2)若存在实数m,使函数g(x)=f(x)﹣mx在区间[m,m+2]上有最小值﹣5,求出实数m的值.
【答案】
(1)解:法一:当a=0时,f(x)=﹣ x+c.
由f(1)=0得:﹣ +c=0,即c=
,∴f(x)=﹣
x+
.
显然x>1时,f(x)<0,这与条件②相矛盾,不合题意.
∴a≠0,函数f(x)=ax2﹣ x+c是二次函数.
由于对一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函数的性质可得:
,即
(*),
由f(1)=0得 a+c= ,即c=
﹣a,代入(*)得 a(
﹣a)≥
整理得 a2﹣ a+
≤0,即(a﹣
)2≤0.
而(a﹣ )2≥0,∴a=
,
将a= 代入(*)得,c=
,
∴a=c= .
法二:当a=0时,f(x)=﹣ x+c.
由f(1)=0得﹣ +c=0,即c=
,
∴f(x)=﹣ x+
,
显然x>1时,f(x)<0,这与条件②相矛盾,
∴a≠0,因而函数f(x)=a2﹣ x+c是二次函数.
由于对一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函数的性质可得:
,由此可知 a>0,c>0,
∴ac≤( )2.
由f(1)=0,得 a+c= ,代入上式得 ac≤
,
但前面已推得 ac≥ ,
∴ac= ,
由 解得 a=c=
(2)解:∵a=c= ,∴f(x)=
x2﹣
x+
.
∴g(x)=f(x)﹣mx= x2﹣(vm)x+
.
该函数图象开口向上,且对称轴为x=2m+1.
假设存在实数m使函数g(x)=f(x)﹣mx= x2﹣(
+m)x+
在区间[m,m+2]上有最小值﹣5.
①当m<﹣1时,2m+1<m,函数g(x)在区间[m,m+2]上是递增的,
∴g(m)=﹣5,
即 m2﹣(
+m)m+
=﹣5,
解得 m=﹣3或m= ,
∵ >﹣1,∴m=
舍去
②当﹣1≤m<1时,m≤2m+1<m+1,
函数g(x)在区间[m,2m+1]上是递减的,而在区间[2m+1,m+2]上是递增的,
∴g(2m+1)=﹣5,
即 (2m+1)2﹣(
+m)(2m+1)+
=﹣5.
解得 m=﹣ ﹣
或m=﹣
+
,均应舍去.
③当m≥1时,2m+1≥m+2,函数g(x)在区间[m,m+2]上是递减的,
∴g(m+2)=﹣5,
即 (m+2)2﹣(
+m)(m+2)+
=﹣5.
解得 m=﹣1﹣2 或m=﹣1+2
,其中m=﹣1﹣2
应舍去.
综上可得,当m=﹣3或m=﹣1+2 时,函数g(x)=f(x)﹣mx在区间[m,m+2]上有最小值
【解析】(1)首先函数f(x)=ax2﹣ x+c是二次函数,再利用二次函数的性质解决对一切x∈R,都有f(x)≥0;根据f(1)=0得 a+c=
,即c=
﹣a,从而可得 a(
﹣a)≥
,进而可得a,c的值, 另解:首先函数f(x)=ax2﹣
x+c是二次函数,再利用二次函数的性质解决对一切x∈R,都有f(x)≥0;由f(1)=0,得 a+c=
,代入上式得 ac≤
,根据 ac≥
,可得ac=
,从而得到关于a,c的方程组,故可求a、c的值;(2)g(x)=f(x)﹣mx=
x2﹣(
+m)x+
,
x2﹣(
+m)x+
在区间[m,m+2]上有最小值﹣5.根据函数的对称轴与区间的关系进行分类讨论,从而可求m的值.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
①M={ };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex﹣2}.
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意的x1 , x2∈D,当x1+x2=2a时,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心.研究函数f(x)=x3+sinx+2的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 …
= .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x+5;函数g(x)=ax(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(2)= ,且g[f(x)]≥k对x∈[﹣1,1]恒成立,求实数k的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn= (an﹣1)(a为常数,且a≠0,a≠1);
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn= +1,若数列{bn}为等比数列,求a的值;
(3)若数列{bn}是(2)中的等比数列,数列cn=(n﹣1)bn , 求数列{cn}的前n项和Tn .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
.(1)求曲线
的普通方程;(2)若点
在曲线
上,点
,当点
在曲线
上运动时,求
中点
的轨迹方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且b=c,∠A的平分线为AD,若 =m
.
(1)当m=2时,求cosA
(2)当 ∈(1,
)时,求实数m的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com