Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn= （an﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn= +1，若数列{bn}为等比数列，求a的值；
（3）若数列{bn}是（2）中的等比数列，数列cn=（n﹣1）bn ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时， ，

∴a1=a， ，

当n≥2时，Sn= （an﹣1）且 ，

两式做差化简得：an=aan﹣1

即： ，

∴数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列，

∴

（2）解：bn= +1= ，

若数列{bn}为等比数列，

则 =0，即

（3）解：由（2）知 ，

∴

∴Tn=0×3+1×32+2×33+…+（n﹣1）3n …①

3Tn=0×32+1×33+2×34+…+（n﹣2）×3n+（n﹣1）×3n+1 …②

①﹣②得：﹣2Tn=32+33+34+…+3n﹣（n﹣1）×3n+1

=

∴

【解析】（1）由公式 求得通项公式；（2）简化数列{bn}，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出 =0，解得参数a；（3）由（2）求出数列{cn}的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列{cn}的前n项和．
【考点精析】掌握等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．