Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣x+a，若函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是（ ）
A.a＜0
B.a≤0
C.a≤1
D.a≤0或a=1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：因为f（x）是奇函数，所以g（x）=f（x）﹣x也是奇函数， 所以要使函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，
则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有一个即可．
由g（x）=f（x）﹣x=0得，g（x）=x2﹣x+a﹣x=x2﹣2x+a=0，
若△=0，即4﹣4a=0，解得a=1．
若△＞0，要使当x＞0时，函数g（x）只有一个零点，则g（0）=a≤0，
所以此时 ，解得a≤0．
综上a≤0或a=1．
故选D．
【考点精析】通过灵活运用函数的零点，掌握函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点即可以解答此题．