Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面,且,.四边形满足,,.为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.

（1）若为的中点，求证: 面平面；

（2）是否存在点,使得直线与平面垂直? 若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得平面,从而得，再结合，可得平面，又利用三角形中位线定理可得，进而可得结果；（2）过点作,垂足为，先证明平面,结合平面,得，从而可得平面，利用三角形面积相等即可得线段的长.

试题解析：（1）∵分别为侧棱的中点，∴.

∵,∴.

∵面平面,且,面平面,

∴平面,结合平面,得.

又∵, ,∴平面,可得平面.

∴ 结合平面，得平面 平面.

（2）存在点，使得直线与平面垂直.

平面中，过点作,垂足为

∵由己知,,,.

∴根据平面几何知识，可得.

又∵由（1）平面,得 ,且,

∴平面,结合平面,得.

又∵,∴平面.

在中，, ，,

∴，.

∴上存在点，使得直线与平面垂直，此时线段长为.