【题目】已知函数为偶函数.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若不等式恒成立,求实数
的最小值.
【答案】(1) 当时,
取得最小值2;(2) 实数
的最小值为
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由 可得(
)(
=0在R上恒成立,解得
。然后根据单调性的定义可证明函数
在
上为增函数,且为偶函数,从而可得
在
上是减函数。所以当
时,
取得最小值2。(Ⅱ)由题意
,故可得
恒成立,令
,结合
可得到
取得最大值0,因此
,实数
的最小值为
.
试题解析:
(Ⅰ) 由题意得,
即在R上恒成立,
整理得()(
=0在R上恒成立,
解得,
∴.
设,
则
,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴在
上是增函数.
又为偶函数,
∴在
上是减函数.
∴当时,
取得最小值2.
(Ⅱ)由条件知
.
∵恒成立,
∴
恒成立.
令
由(Ⅰ)知,
∴时,
取得最大值0,
∴,
∴实数的最小值为
.
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【题目】已知点P(2,0)及圆C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)设过P直线l1与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以MN为直径的圆Q的方程;
(2)设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
①M={ };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex﹣2}.
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
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【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,且
,
.四边形
满足
,
,
.
为侧棱
的中点,
为侧棱
上的任意一点.
(1)若为
的中点,求证: 面
平面
;
(2)是否存在点,使得直线
与平面
垂直? 若存在,写出证明过程并求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①双曲线 与椭圆
有相同的焦点;
②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是相切的;
③设A,B为两个定点,k为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线;
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB,O为原点,若 则动点P的轨迹为椭圆.其中正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意的x1 , x2∈D,当x1+x2=2a时,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心.研究函数f(x)=x3+sinx+2的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 …
= .
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
.(1)求曲线
的普通方程;(2)若点
在曲线
上,点
,当点
在曲线
上运动时,求
中点
的轨迹方程.
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