Question

【题目】已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．
（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；
（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，

|CP|= ，而弦心距d= ，

所以d=|CP|= ，所以P为MN的中点，

所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为 |MN|=2，

故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4

（2）解：把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．

由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，

故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．

则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．

设符合条件的实数a存在，

由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．

所以l2的斜率kPC=﹣2，

∴kAB=a= ，

由于 ，

故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB

【解析】（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．