Question

【题目】已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x+5；函数g（x）=ax（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（2）= ，且g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x+1）﹣f（x）=2x+5，

∴f（1）﹣f（0）=5，f（2）﹣f（1）=7，

又f（0）=1，∴f（1）=6，f（2）=13．

设f（x）=mx2+bx+c，

则 ，解得m=1，b=4．

∴f（x）=x2+4x+1

（2）解：∵g（2）=a2= ，∴a= ．

∴g[f（x）]=（ ） ，

∵f（x）=x2+4x+1在[﹣1，1]上单调递增，g（x）是减函数，

∴g（f（x））在[﹣1，1]上是减函数，

g（f（x））在[﹣1，1]上的最小值为g（f（1））=g（6）= = ．

∵g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，

∴k≤

【解析】（1）利用关系式求出f（1），f（2），利用待定系数法求出f（x）；（2）求出a的值，判断g（f（x））的单调性，根据单调性得出g（f（x））在[﹣1，1]上的最小值，从而得出k的范围．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．