Question

19．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元），与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：

x	3	4	5	6	7	8	9
y	66	69	73	81	89	90	91

已知$\sum_{i=1}^{7}$x${\;}_{i}^{2}$=280，$\sum_{i=1}^{7}$y${\;}_{i}^{2}$=45309，$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=3487．参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．残差：$\widehat{e}$=y_i-$\widehat{y}$_i
（1）求$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（2）在直角坐标系上画出散点图；
（3）判断纯利y与每天销售件数x之间是否线性相关，如果线性相关，求出回归方程（保留两位小数）．
（4）如果纯利y与每天销售件数x之间线性相关，计算相应于点（9，91）的残差．

Answer 1

分析 （1）利用平均数公式计算即得．
（2）把所给的7对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（3）作出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值，即可求出回归方程．
（4）x=9时，y=4.75×9+51.36≈94.1，即可求出相应于点（9，91）的残差．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（3+4+5+6+7+8+9）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（66+69+73+81+89+90+91）=$\frac{559}{7}$≈79.86；（4分）
（2）把所给的7对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；                   （2分）

（3）由散点图知，y与x有线性相关关系，（2分）
3×66+4×69+5×73+6×81+7×89+8×90+9×91=3487，3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²=280，
∴b=$\frac{3487-7×6×\frac{559}{7}}{280-7×36}$=4.75，（3分）
a=79.86-6×4.75=51.36．（1分）
∴回归直线方程y=4.75x+51.36．（1分）
（4）x=9时，y=4.75×9+51.36≈94.1
相应于点（9，91）的残差91-94.1=-3.1（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，本题是一个近几年可能出现在高考卷中的题目．