Question

9．抛物线y²=4x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率k（k＞0）的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=3|FB|，则直线AB的斜率k=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，再设出AB的方程，联立直线方程和抛物线方程，由焦半径结合|FA|=3|FB|，求得A的坐标，代入两点求斜率公式得答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知|FA|=3|FB|，得：x₁+1=3（x₂+1），即x₁=3x₂+2，①
∵P（-1，0），则AB的方程：y=kx+k，
与y²=4x联立，得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，则x₁x₂=1，②
由①②得x₂=3，则A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴k=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-0}{\frac{1}{3}-（-1）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查，直线与抛物线位置关系的应用，考查焦半径公式的应用，属于中档题．