Question

已知函数f(x)=1－的定义域为［－5，0］，它的反函数为y=f^－1(x)，且点P(－2，－4)在y=f^－1(x)的图象上，

(1)求实数a的值，并求y=f^－1(x)；

(2)并证明函数与反函数在其定义域上递减.

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知P′(－4，－2)在函数f(x)=1－的图象上，即－2=1－，解得a=－1. 由－5≤x≤0得，0≤－x2+25≤25，则－4≤1－≤1 ∴函数f(x)=1－的值域为［－4，1］ 设y=f(x)=1－，则 x2=25－(1－y)2，又－5≤x≤0， x=－ ∴f－1(x)=－，x∈［－4，1］ (2)设－5≤x1≤x2≤0，即x1－x2<0，x1+x2<0 f(x1)－f(x2)=(1－)－(1－) =－ = 即f(x1)>f(x2) ∴f(x)=1－在定义域［－5，0］上递减 设－4≤x1≤x2≤1，则x2－x1>0，2－x1－x2>0 f－1(x1)－f－1(x2)=［－］－［－］ = =>0 即f－1(x1)>f－1(x2) 因此f－1(x)=－在［－4，1］上递减.