Question

已知函数f（x）=log₂

x+1

x-1

+log₂（x-1）+log₂（p-x）．
（1）当p=7时，求函数f（x）的定义域与值域；
（2）求函数f（x）的定义域与值域．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，利用对数的运算性质，化简函数，再确定内函数的值域，即可求得函数的值域；
（2）先确定函数的定义域，再利用对数的运算性质，化简函数，分类讨论，确定内函数的值域，即可求得函数的值域．

解答：解：（1）由题意，可得

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 7-x＞0

，∴1＜x＜7
又∵函数f（x）=log₂

x+1

x-1

+log₂（x-1）+log₂（7-x）=log₂（x+1）（7-x）=log₂[-（x-3）²+16]．
令g（x）=-（x-3）²+16，由于函数的定义域为{x|1＜x＜7}，则g（7）＜g（x）≤g（3），即0＜g（x）≤16，所以函数f （x）的值域为（-∞，4]
（2）由题意，可得

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

，∴x＞1且x＜p
∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
函数f（x）=log₂

x+1

x-1

+log₂（x-1）+log₂（p-x）=log₂（x+1）（p-x）=log₂[-x²+（p-1）x+p]．
令t=-x²+（p-1）x+p=-(x-

p-1

2

)2+

(p+1)2

4

=g（x）
①当

p-1 2 ＜1 p＞1

，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
②当

1≤ p-1 2 ≤p p＞1

，即p≥3时，g（p）＜t≤g（

p-1

2

），即0＜t≤

(p+1)2

4

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2]．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（-∞，log₂（p-1））；当p≥3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2]．

点评：本题考查导数函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的定义域，化简函数．