Question

已知向量

a

=（x²-1，-1），

b

=（x，y），当|x|＜

2

时，有

a

⊥

b

；当|x|≥

2

时，

a

∥

b

．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）若对|x|≥

2

，都有f（x）≤m，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据当|x|＜

2

时，有

a

⊥

b

；当|x|≥

2

时，

a

∥

b

，分别利用相应的运算，即可求得函数的解析式；
（2）利用导数，确定其小于0，即可得到函数的单调递减区间；
（3）利用函数的单调性，确定函数的值域，可得函数的最小值，从而可得m的最小值．

解答：解：（1）由题意，当|x|＜

2

时，（x²-1）x-y=0，即y=x³-x；
当|x|≥

2

时，（x²-1）y+x=0，即y=

x

1-x2

∴y=f（x）=

x3-x，|x|＜ 2 x 1-x2 ，|x|≥ 2

；
（2）当|x|＜

2

时，y′=3x²-1＜0，可得-

3

3

＜x＜

3

3

；当|x|≥

2

时，y′=

1+x2

(1-x2)2

＞0恒成立，
∴函数的单调递减区间是(-

3

3

，

3

3

)；
（3）由（2）知，当x≥

2

时，函数单调递增，且f（x）∈[-

2

，0）；当x≤-

2

时，函数单调递增，且f（x）∈（0，

2

]，
∴函数具有最小值-

2

∴m≥-

2

∴m的最小值-

2

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的单调性是关键．