Question

已知函数f(x)=-2sin2x+2

3

sinxcosx+2．
（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若不等式|f（x）-m|≤3对一切x∈[-

π

6

，

π

3

]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当x∈[-π，π]时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，从而可求得f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

⇒-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1⇒0≤f（x）≤3，依题意可得m-3≤f（x）≤3+m对一切x∈[-

π

6

，

π

3

]恒成立，从而可求实数m的取值范围；
（3）利用正弦函数的单调性可求得当x∈[-π，π]时，f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）f（x）=-2sin²x+2

3

sinxcosx+2
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
令2x+

π

6

=kπ，则x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴f（x）的对称中心为（

kπ

2

-

π

12

，1）（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴0≤f（x）≤3．
∴当x=-

π

6

时，f（x）的最小值为0；
当x=

π

6

时，f（x）的最大值为3．
由题意得，-3≤f（x）-m≤3，
∴m-3≤f（x）≤m+3对一切x∈[-

π

6

，

π

3

]恒成立，
∴

m-3≤0 m+3≥3

，解得0≤m≤3，
∴所求实数m的取值范围为[0，3]．
（3）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
即f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z），
又x∈[-π，π]，
∴f（x）的单调递减区间为[-

5π

6

，-

π

3

]，[

π

6

，

2π

3

]．

点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的对称性、单调性与最值的综合应用，属于难题．