Question

已知实数x，y满足x²+y²=9，求

y+1

x+3

及2x+y的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,简单线性规划

专题：直线与圆

分析：设k=

y+1

x+3

和z=2x+y，利用k，z的几何意义，利用直线和圆的位置关系建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：设k=

y+1

x+3

，则k的几何意义是圆上点到定点（-3，-1）的斜率，
∴y+1=k（x+3），即kx-y+3k-1=0，
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=

|3k-1|

1+k2

=3，
即（3k-1）²=9（1+k²），
∴-6k=8，解得k=-

4

3

，
由图象可知k≥-

4

3

，
设z=2x+y，
则直线方程为2x+y-z=0，
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=

|z|

22+1

=

|z|

5

=3，
即|z|=3

5

，
∴z=±3

5

，
∴-3

5

≤z≤3

5

，
即2x+y的取值范围是[-3

5

，3

5

]．

点评：本题主要考查不等式的应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．