Question

若ax²+x+1＜0，求x的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：对a分类，a=0时直接求解一次不等式得答案；
当a≠0时，利用二次不等式对应方程ax²+x+1=0根的情况及对应二次函数图象的开口方向得到不等式ax²+x+1＜0的解集．

解答： 解：当a=0时，不等式ax²+x+1＜0化为x+1＜0，解得：x＜-1；
当a＞0时，若a≥

1

4

，则1-4a≤0，不等式ax²+x+1＜0的解集为∅；
若0＜a＜

1

4

，解ax²+x+1=0得：x=

-1± 1-4a

2a

，
∴不等式ax²+x+1＜0的解集为{x|

-1- 1-4a

2a

＜x＜

-1+ 1-4a

2a

}；
当a＜0时，1-4a＞0，解ax²+x+1=0得：x=

-1± 1-4a

2a

，
∴不等式ax²+x+1＜0的解集为{x|x＜

-1+ 1-4a

2a

或x＞

-1- 1-4a

2a

}．
综上，当a＜0时，不等式ax²+x+1＜0的解集为{x|x＜

-1+ 1-4a

2a

或x＞

-1- 1-4a

2a

}；
当a=0时，不等式ax²+x+1＜0的解集为{x|x＜-1}；
当0＜a＜

1

4

时，不等式ax²+x+1＜0的解集为{x|

-1- 1-4a

2a

＜x＜

-1+ 1-4a

2a

}；
当a≥

1

4

时，不等式ax²+x+1＜0的解集为∅．

点评：本题考查了分类讨论的数学思想方法，考查了一元一次不等式和一元二次不等式的解法，训练了利用“三个二次”的结合求解二次不等式，是中档题．