两千多年前.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中的实心点个数1.5.12.22.-.被称为五角形数.其中第1个五角形数记作a1=1.第2个五角形数记作a2=5.第3个五角形数记作a3=12.第4个五角形数记作a4=22.-.若按此规律继� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，

（1）a₅=

；
（2）若a_n=117，则n=

．

考点：归纳推理

专题：常规题型,推理和证明

分析：本题属于归纳推理题，由n=1，2，3，4归纳出其中的规律，（1）利用规律指导解题，求出第5项；（2）利用规律研究通项公式，再根据某一项的值，求出项数．

解答： 解：（1）观察得知：
a₁=1=3×1-2
a₂=5=a₁+3×2-2，
a₃=12=a₂+3×3-2，
a₄=22=a₃+3×4-2，an=3(1+2+3+…+n)-2n=

3n2-n

…
（1）由此归纳猜想，得到：
a₅=a₄+3×5-2=22+15-2=35．
（2）归纳猜想，得到：
a_n=a_n-1+3n-2，（n≥2，n∈N^*）
将：
a₁=1=3×1-2
a₂=5=a₁+3×2-2，
a₃=12=a₂+3×3-2，
a₄=22=a₃+3×4-2，
…，
a_n=a_n-1+3n-2，（n≥2，n∈N^*）．
叠加得到：
an=3(1+2+3+…+n)-2n=

3n2-n

（n≥2，n∈N^*）．
令a_n=117，
即

3n2-n

=117，n=9．
故答案为：（1）35；（2）9．

点评：本题考查的是归纳推理，难点在于归纳推理得到递推规律以后，再利用递推规律进一步研究，得到通项公式，再利用通项公式解题．有一定的思维量和运算量，属于中档题．

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