Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出以下结论：
①AB⊥平面BCC₁B₁；
②AC⊥平面CDD₁C₁；
③AC⊥平面BDD₁B₁；
④A₁C⊥平面AB₁D₁．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：由线面垂直的判定定理．即可判断①；由于AC不垂直于CD，即可判断②；由线面垂直的性质和判定定理，即可判断③；连接A₁D，由正方形的对角线的性质和线面垂直的性质和判定定理，即可判断④．

解答： 解：对于①，由AB⊥BC，AB⊥B₁B，则AB⊥平面BCC₁B₁，即①对；
对于②，由于AC不垂直于CD，即②错；
对于③，由AC⊥BD，B₁B⊥平面ABCD，则AC⊥B₁B，即有AC⊥平面BDD₁B₁，
即③对；
对于④，连接A₁D，CD⊥平面ADD₁A₁，则CD⊥AD₁，又AD₁⊥A1D，则有AD₁⊥平面A₁CD，故A₁C⊥AD₁，同理A₁C⊥B₁D₁，则有A₁C⊥平面AB₁D₁．即④对．
故答案为：①③④

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：垂直，考查线面垂直的判定和性质定理及运用，掌握这些定理是迅速解题的关键．