Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，且E，F分别是BC，CD的中点．
（1）求证：平面PEF⊥平面PAC；
（2）求三棱锥P-EFC的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，且E，F分别是BC，CD的中点我们易得到BD⊥AC，结合三角形的中位线定理，进一步可得到EF⊥AC，EF⊥PA，由线面垂直的判定定理，可得EF⊥平面PAC，再由面面垂直的定理即可得到平面PEF⊥平面PAC；
（2）由已知中PA⊥平面ABCD，我们易得棱锥的高为PA，底面为三角形EFC，分别求出棱锥的高及底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（1）连接BD，因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
因为E，F分别是BC，CD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC，（4分）
因为PA⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
所以EF⊥PA，因为PA∩AC=A，
所以EF⊥平面PAC，
因为EF?平面PEF，所以平面PEF⊥平面PAC．（8分）
解：（2）VP-EFC=

1

3

S△EFC•PA=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

．（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（1）中熟练掌握面面垂直及线面垂直的判定定理是关系，（2）中求出棱锥的底面面积及高是关键．