Question

已知DA⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=CB=AD=2，E是DC的中点，F是AB的中点．
（1）证明AC⊥EF；
（2）求二面角C-DB-A的正切值；
（3）求点A到平面BCD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A为原点，AC，AD的方向分别为X，Z轴的正方向，建立坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出向量，，代入向量夹角公式，即可得到AC⊥EF；
（2）求出平面CDB的法向量及平面ADB的法向量，然后代入二面角向量法公式，即可得到二面角C-DB-A的余弦值，进而得到二面角C-DB-A的正切值；
（3）连接AE，我们易证明AE⊥平面BCD，解三角形ACD，我们易求出AE的长度，即点A到平面BCD的距离．
解答：解：（1）证明：以A为原点，建立如图所示的坐标系，

则A（0，0，0），D（0，0，2），B（2，2，0），C（2，0，0），E（1，0，1），F（1，1，0）
∴=（2，0，0），=（0，1，-1）
所以=0，
∴AC⊥EF
（2）∵AC=CB且F为AB的中点
∴CF⊥AB，又由CF⊥AD，AB∩AD=A
∴CF⊥平面ABD，
∴=（1，-1，0）为平面ABD的法向量
又∵AD=AC，E为CD的中点，
∴AE⊥CD
又∵BC⊥平面ACD，
∴AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD
故=（1，0，1）为平面BCD的一个法向量
则cosθ==
则tanθ=
故二面角C-DB-A的正切值为
（3）∵AD=AC，E是DC的中点
∴AE⊥DC
又∵CB⊥CA，CB⊥AD，而CA∩AD=A
∴CB⊥平面CAD
∴AE⊥CB，又由CD∩CB=C
∴AE⊥平面DCB，
在等腰直角三角形ACD中，可得AE=
即求点A到平面BCD的距离为
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，点、线、面的距离的计算，二面角的平面角及求法，其中根据已知中DA⊥平面ABC，AC⊥CB，建立空间坐标系，将问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．