Question

对于每个自然数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₂B₁₉₉₂|的值是（　　）

• A．

  1991

  1992

• B．

  1992

  1993

• C．

  1991

  1993

• D．

  1993

  1992

Answer 1

分析：先确定A_n，B_n的坐标，求出|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，再利用累加法，即可求得结论．

解答：解：∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，
∴由y=0得x=

1

n

或x=

1

n+1

∴A_n（

1

n+1

，0），B_n（

1

n

，0），
∴|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₂B₁₉₉₂|=（1-

1

2

）+…+（

1

1992

-

1

1993

）=1-

1

1993

=

1992

1993

故选B．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析问题与转化求解的能力，难点在于明确|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，属于中档题．