Question

已知函数f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

(ω＞0)的最小正周期为4π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若存在x∈[0，2π]，使不等式f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据辅角公式、二倍角的正弦和余弦化简f（x）得到f(x)=sin(2ωx+

π

6

)，然后根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，确定函数f（x）的解析式，最后由正弦函数的单调性可求出其单调递增区间．
（2）先根据x的范围求出

1

2

x+

π

6

的范围，进而可得到f（x）的范围，使得不等式f（x）＜m成立时只要m大于等于f（x）的最小值即可，从而可确定m的范围．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)
∵T=

2π

2ω

=4π∴ω=

1

4

∴f(x)=sin(

1

2

x+

π

6

)
∴f（x）的单调递增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈Z)
（2）∵x∈[0，2π]，∴

1

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
f(x)∈[-

1

2

，1]∴m≥-

1

2

点评：本题主要考查三角函数的基本公式的应用．考查对基础知识的综合运用．