精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知数列{an}中a1=2,前n项的和为Sn,且4tSn+1-(3t+8)Sn=8t,其中t<-3,n∈N*;
(1)证明数列{an}为等比数列;
(2)判定{an}的单调性,并证明.
分析:(1)由4tSn+1-(3t+8)Sn=8t按照通项与前n项和间的关系,分当n=1和n≥2两种情况探求得4tan+1-(3t+8)an=0,进而变形得
an+1
an
=
3t+8
4t
(n≥2,∴t<-3)由等比数列的定义判断.
(2)因为是正项数列,可用作商比较法
an+1
an
=
3t+8
4t
=
3
4
+
2
t
<1得到{an}为递减数列.
解答:解(1)证明:∵4tSn+1-(3t+8)Sn=8t①
当n=1时,4t(a1+a2)-(3t+8)a1=8t而a1=2?a2=
8+3t
2t
(2分)
又∵4tSn-(3t+8)Sn-1=8t②(n≥2)
由①②得4tan+1-(3t+8)an=0
an+1
an
=
3t+8
4t
(n≥2,∴t<-3)(4分)
3t+8
4t
≠0又
a2
a1
=
8+3t
4t

∴{an}是等比数列(8分)

(2)∵an=2(
3t+8
4t
)n-1>0
>0(∵t<-3)
an+1
an
=
3t+8
4t
=
3
4
+
2
t
(12分)
∵t<-3∴
an+1
an
∈(
1
12
3
4
)
(14分)
an+1
an
<1?an+1an

∴{an}为递减数列(16分)
点评:本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系和判断数列的方法,一般用定义或通项公式,证明数列是单调数列时往往用比较法.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=-10,且经过点A(an,an+1),B(2n,2n+2)两点的直线斜率为2,n∈N*
(1)求证数列{
an2n
}
是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的最小项.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,an=3n+4,若an=13,则n等于(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1为由曲线y=
x
,直线y=x-2及y轴
所围成图形的面积的
3
32
Sn为该数列的前n项和,且Sn+1=an(1-an+1)+Sn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若不等式an+an+1+an+2+…+a3n
a
24
对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明结论.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,an=n2+(λ+1)n,(x∈N*),且an+1>an对任意x∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,则k的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案