Question

15．已知数列{a_n}是递增等比数列，S_n为其前n项和，且a₁+a₄=28，a₂•a₃=27．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=（3n+1）•a_n，求其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等比数列的通项公式，列方程组，即可求得a₁及公比q，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得b_n=（3n+1）×3^n-1，利用“错位相减法”即可求得其前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由数列{a_n}是递增等比数列，首项a₁＞0，公比为q＞1，a_n=a₁q^n-1，
a₁+a₁q³=28，①
a₁q•a₁q²=27，②
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3^n-1；
（Ⅱ）由b_n=（3n+1）×3^n-1，
则前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n=4×1+7×3+10×3²+…+（3n+1）×3^n-1，
则3T_n=4×3+7×3²+10×3³+…+（3n-2）×3^n-1+（3n+1）×3ⁿ，
两式相减得：-2T_n=4+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n+1）×3ⁿ，
=1+3×$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-（3n+1）×3ⁿ，
=（-3n+$\frac{1}{2}$）3ⁿ-$\frac{1}{2}$，
∴T_n=（$\frac{3n}{2}$-$\frac{1}{4}$）3ⁿ+$\frac{1}{4}$=$\frac{（6n-1）×{3}^{n}+1}{4}$，
∴数列{b_n}前n项和T_n=$\frac{（6n-1）×{3}^{n}+1}{4}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，等比数列前n项和，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．