Question

19．求曲线y=x³-x+1过点（1，1）的切线方程为2x-y-1=0或x+4y-5=0．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，分点（1，1）是切点和原点不是切点两类求，先求出函数y=x³-x+1的导函数，然后求出在切点处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．

解答 解：∵y=x³-x+1，∴y′=3x²-1，
设切线的斜率为k，切点是（x₀，y₀），
则有y₀=x₀³-x₀+1，①
k=f′（x₀）=3x₀²-1，
又k=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}-1}$=3x₀²-1，②
由①②得x₀=1，或x₀=$\frac{1}{2}$，
k=2，或k=-$\frac{1}{4}$．
∴所求曲线的切线方程为：2x-y-1=0或x+4y-5=0，
故答案为2x-y-1=0或x+4y-5=0．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．属于中档题．