Question

4．已知函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$．
（1）若$x∈（{-\frac{π}{6}，0}]$，求$4f（x）+\frac{1}{f（x）}$的最小值，并确定此时x的值；
（2）若$a∈（{-\frac{π}{2}，0}），f（{\frac{a}{2}+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求f（a）的值．

Answer 1

分析 （1）根据$x∈（{-\frac{π}{6}，0}]$，求出$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的范围，利用基本不等式求解．
（2）利用$a∈（{-\frac{π}{2}，0}），f（{\frac{a}{2}+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求先求解出sinα和cosα，在求解sin2α和cos2α，可得f（a）的值

解答 解：（1）函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$．
∵$x∈（{-\frac{π}{6}，0}]$，
∴$2x+\frac{π}{3}∈（{0，\frac{π}{3}}]$，
∴$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
∴$4f（x）+\frac{1}{f（x）}≥2\sqrt{4}=4$，
当且仅当$4f（x）=\frac{1}{f（x）}$，即$f（x）=\frac{1}{2}$，即$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}，x=-\frac{π}{12}$时，等号成立．
故当$x=-\frac{π}{12}$时，则$4f（x）+\frac{1}{f（x）}$的最小值为4．
（2）$a∈（{-\frac{π}{2}，0}），f（{\frac{a}{2}+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，即sin（a+$\frac{2π}{3}$$+\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则cosα=±$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=±\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∵$α∈（-\frac{π}{2}，0）$，
∴cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
sin2α=2sinαcosα=$-\frac{4}{5}$，cos2a=1-2sin²a=$\frac{3}{5}$．
∴$f（α）=\frac{1}{2}sin2α+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2α=\frac{{3\sqrt{3}-4}}{10}$．

点评 本题考查了三角函数与基本不等式的综合运用，二倍角的化简和计算能力．属于中档题．