【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中,曲线与曲线关于直线对称.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线过原点且倾斜角为,设直线与曲线相交于,两点,直线与曲线相交于,两点,当变化时,求面积的最大值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)法一:将化为直角坐标方程,根据对称关系用上的点表示出上点的坐标,代入方程得到的直角坐标方程,再化为极坐标方程;法二:将化为极坐标方程,根据对称关系将上的点用上的点坐标表示出来,代入极坐标方程即可得到结果;(Ⅱ)利用和的极坐标方程与的极坐标方程经坐标用表示,将所求面积表示为与有关的三角函数解析式,通过三角函数值域求解方法求出所求最值.
(Ⅰ)法一:由题可知,的直角坐标方程为:,
设曲线上任意一点关于直线对称点为,
所以
又因为,即,
所以曲线的极坐标方程为:
法二:由题可知,的极坐标方程为: ,
设曲线上一点关于 的对称点为,
所以
又因为,即,
所以曲线的极坐标方程为:
(Ⅱ)直线的极坐标方程为:,直线的极坐标方程为:
设,
所以解得,解得
因为:,所以
当即时,,取得最大值为:
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【题目】三国时期吴国数学家赵爽所注《周牌算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.右面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实黄实,利用勾股(股勾)朱实黄实弦实,化简,得勾股弦,设勾股中勾股比为,若向弦图内随机抛掷颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉颗数大约为( )(参考数据,)
A.B.C.D.
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【题目】黄河被称为我国的母亲河,它的得名据说来自于河水的颜色,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色, 黄河的水源来自青海高原,上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原,又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,泾渭分明,形成了一条奇特的水中分界线,设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000,黄河水的含沙量为,洮河水的含沙量为,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换的水量,即从洮河流入黄河的水混合后,又从黄河流入的水到洮河再混合.
(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;
(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于?(不考虑泥沙沉淀)
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【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1,若AB=BC,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是( )
A.EF与BB1垂直B.EF⊥平面BDD1B1
C.EF与C1D所成的角为45°D.EF∥平面A1B1C1D1
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【题目】AB是圆O的直径,点C是圆O上异于AB的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面,D,E分别是VA,VC的中点.
(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;
(2)当△VAB为边长为的正三角形时,求四面体V﹣DEB的体积.
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【题目】AB是圆O的直径,点C是圆O上异于AB的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面,D,E分别是VA,VC的中点.
(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;
(2)当△VAB为边长为的正三角形时,求四面体V﹣DEB的体积.
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【题目】设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,则
②若,,,则
③若,,则
④若,,则
其中正确命题的序号是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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