Question

11．已知$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$\vec b=（-\sqrt{3}，3）$，则$|{\overrightarrow a}|$=2；$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$2\sqrt{3}$；$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的投影为1．

Answer 1

分析 由已知向量的坐标直接代入向量模的公式求得$|\overrightarrow{a}|$；利用数量积的坐标运算求得$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；把数量积公式变形，可得$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，代入数量积与$|\overrightarrow{b}|$得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}）$，得$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}=2$．
由$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$\vec b=（-\sqrt{3}，3）$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×（-\sqrt{3}）+3×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，则$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的投影为$|\overrightarrow{a}|cosθ$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{（-\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1$．
故答案为：2，$2\sqrt{3}$，1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，关键是对投影概念的理解，是中档题．