Question

已知：函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）若≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M （a），最小值为N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求证：g（a）≥；
（3）设a＞0，证明对任意的x₁，x₂∈[，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥a（x₁-x₂）．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²-2x+1．
∴，
由得，
∴．
当，即时，
M（a）=f（3）=9a-5，
故；
当，即时，
M（a）=f（1）=a-1，
故．
∴．
（2）∵当时，
＜0，
∴函数g（a）在上为减函数；
当时，
，
∴函数g（a）在上为增函数，
∴当时，g（a）取最小值，
，
故．
（3）∵当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，
对称轴为，
∴函数f（x）在上为增函数，
（或由f'（x）=2ax-2≥0得，
∴函数f（x）在上为增函数，
不妨设x₁≤x₂，由，
得f（x₁）≤f（x₂）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|，
∴f（x₂）-f（x₁）≥a（x₂-x₁），
∴f（x₂）-ax₂≥f（x₁）-ax₁
令φ（x）=f（x）-ax=ax²-（a+2）x+1，x∈
∵抛物线y=φ（x）开口向上，
对称轴为，
且，
∴函数φ（x）在上单调递增，
∴对任意的，x₂≥x₁，
有φ（x₂）≥φ（x₁），
即f（x₂）-ax₂≥f（x₁）-ax₁，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|．
分析：（1），由得．所以．当时，M（a）=f（3）=9a-5．当时，M（a）=f（1）=a-1，由此能求出g（a）的表达式．
（2）当时，＜0，所以函数g（a）在上为减函数；当时，，所以函数g（a）在上为增函数，由此能够证明．
（3）当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为，函数f（x）在上为增函数；抛物线y=φ（x）开口向上，对称轴为，且，函数φ（x）在上单调递增．由此能够证明|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|．
点评：本题考查二次函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出易．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．