Question

【题目】设正数x，y满足log x+log3y=m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，则实数a的取值范围是（ ）
A.（1， ]
B.（1， ]
C.[ ，+∞）
D.[ ，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵log x+log3y=m，即log3 +log3y=log3 =m， ∴ =3m ， ∵m∈[﹣1，1]，∴ ∈[ ，3]．
∵3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2 ，
∴3a﹣18 +（2a+3） ≥1﹣2 + ，
令 =t，则2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，
设f（t）=2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，
∵不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，
∴f（t）在[ ，3]上的最大值fmax（x）≥0，
（i）当a=﹣1时，f（t）=﹣16t﹣4，
∴fmax（t）=f（ ）=﹣ ﹣4＜0，不符合题意；
（ii）若a＜﹣1，则f（t）开口向下，对称轴为t= ＜0，
∴f（t）在[ ，3]上单调递减，
∴fmax（t）=f（ ）= ﹣6＜0，不符合题意；
（iii）若a＞﹣1，则f（t）开口向上，对称轴为t= ＞0，
①若0＜ ≤ ，即a≥11时，f（t）在[ ，3]上单调递增，
∴fmax（t）=f（3）=21a﹣31＞0，符合题意；
②若 ，即﹣1＜a 时，f（t）在[ ，3]上单调递减，
∴fmax（t）=f（ ）= ﹣6≤ ﹣6＜0，不符合题意；
③若 ＜ ＜3，即 ＜a＜11时，f（t）在[ ，3]上先减后增，
∴fmax（t）=f（ ）或fmax（t）=f（3），
∴f（ ）= ﹣6≥0或f（3）=21a﹣31＞0，
解得a≥ 或a≥ ，又 ＜a＜11，
∴ ≤a＜11，
综上，a的取值范围是[ ，+∞）．
故选C．
根据对数运算性质可得 =3m ， 令 =t，则不等式可化简为2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，令f（t）=2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，则问题转化为fmax（t）≥0，讨论对称轴与开口方向，根据二次函数的性质求出fmax（t）即可得出a的范围．