【题目】如图,△ABC中,,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥底面ABC;
(2)求证:AC⊥平面EBC;
(3)求几何体ADEBC的体积V.
【答案】(1) 见解析;(2)见解析 ;(3).
【解析】
(1)连接,根据是正方形,推出是的中点,结合是的中点,即可证明∥底面;(2)易证,根据平面平面,推出平面,从而可得,根据勾股定理可知,即可证明平面;(3)取的中点,连接,根据,推出,,根据平面平面,推出平面,即可求得几何体的体积.
(1)证明:连接AE,如下图所示.
∵ADEB为正方形,
∴AE∩BD=F,且F是AE的中点,
又G是EC的中点,
∴GF∥AC,又AC平面ABC,GF平面ABC,
∴GF∥平面ABC.
(2)证明:∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB,
又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC=AB,EB平面ABED,
∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AC.
又∵AC=BC=AB,
∴CA2+CB2=AB2,
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中点H,连GH,∵BC=AC=AB=,
∴CH⊥AB,且CH=,又平面ABED⊥平面ABC
∴CH⊥平面ABC,∴V=×1×=.
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【题目】函数f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示, 其中-3,2,4是f '(x)=0的根, 现给出下列命题:
(1) f(4)是f(x)的极小值;
(2) f(2)是f(x)极大值;
(3) f(-2)是f(x)极大值;
(4) f(3)是f(x)极小值;
(5) f(-3)是f(x)极大值.
其中正确的命题是 ________________.(填上正确命题的序号)
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线交y轴于点N,交椭圆C于点A、P(P在第一象限),过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q.若 .
(1)设直线PF、QF的斜率分别为k、k',求证: 为定值;
(2)若 且△APQ的面积为 ,求椭圆C的方程.
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【题目】设正数x,y满足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,则实数a的取值范围是( )
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)
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【题目】已知函数f(x)=ex+be﹣x﹣2asinx(a,b∈R).
(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当b=﹣1时,若f(x)>0对任意x∈(0,π)恒成立,求a的取值范围.
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【题目】一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些缺损.按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示:
转速x(转/秒) | 16 | 4 | 12 | 8 |
每小时生产有缺损零件数y(个) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)作出散点图;
(2)如果y与x线性相关,求出回归直线方程;
(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?
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【题目】已知中心在原点,焦点在轴上,离心率为的椭圆过点.
(1)求椭圆方程;
(2)设不过原点O的直线,与该椭圆交于P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为,满足,求的值.
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