【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线交y轴于点N,交椭圆C于点A、P(P在第一象限),过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q.若
.
(1)设直线PF、QF的斜率分别为k、k',求证: 为定值;
(2)若 且△APQ的面积为
,求椭圆C的方程.
【答案】
(1)解:设焦点F(c,0),由c2=a2﹣b2,P(x1,y1),则Q(﹣x2,y2),
∴直线PF的斜率k= ,QF的斜率k'=
,
∵ .
∴c=2(x2﹣c),即x2= c
∴k= =
,k'=
=
,
∴k=﹣5k',即 =﹣5为定值.
(2)解:若 ,
则丨AF丨=3丨FP丨,
,解得:A(﹣
c,﹣3y1)
∵点A、P在椭圆C上,则 ,
整理得: =8,解得:
=
,
则 ,代入得:
=
,
=
,
∵△APQ的面积为S△APQ= 3c4y1=6cy1=
,
解得:c2 =
,
∴c2=4,
∴椭圆方程为:
【解析】(1)由题意可知:设P(x1 , y1),则Q(﹣x2 , y2),由 .解得:x2=
c,由直线的斜率公式k=
=
,k'=
=
,
=﹣5为定值;(2)由
,
,
,求得A点坐标,代入椭圆方程,解得
=
,由c2=a2﹣b2 ,
,因此
=
,
=
,由三角形的面积公式可知:S△APQ=
3c4y1=6cy1=
,求得c2
=
,即可求得c的值,求得椭圆方程.
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【题目】设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足
.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线上,且
。证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为
,焦距为2.(14分)
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)如图,该直线l:y=k1x﹣ 交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上的一点,直线OC的斜率为k2 , 且看k1k2=
,M是线段OC延长线上一点,且|MC|:|AB|=2:3,⊙M的半径为|MC|,OS,OT是⊙M的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.
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【题目】已知圆M:x2+y2﹣2x+a=0.
(1)若a=﹣8,过点P(4,5)作圆M的切线,求该切线方程;
(2)若AB为圆M的任意一条直径,且 =﹣6(其中O为坐标原点),求圆M的半径.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,圆O的参数方程为(
为参数).过点(
)且倾斜角为
的直线
与圆O交于A、B两点.
(1)求的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
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【题目】如图,△ABC中,,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥底面ABC;
(2)求证:AC⊥平面EBC;
(3)求几何体ADEBC的体积V.
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【题目】已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n的展开式中x的系数恰好是数列{an}的前n项和Sn .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足 ,记数列{bn}的前n项和为Tn , 求证:Tn<1.
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