Question

设函数f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求满足条件的所有实数a，使e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与函数单调性的关系求得函数的单调区间；
（2）e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立，等价于

f(x)min≥e-1 f(x)max≤e2

，由（1）的结论求得函数的最值，解不等式组解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
∴函数的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

a2

x

-2x+a=

(a-x)(2x+a)

x

由于a＞0，
即f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
（2）由题得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（1）知f（x）在[1，e]内单调递增
要使e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立
只要

f(1)=a-1≥e-1 f(e)=a2-e2+ae≤e2

解得a=e．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求函数的最值等问题，考查恒成立问题的转化求解能力，属中档题．